فصلنامه علمی

نوع مقاله: مقاله پژوهشی

نویسندگان

1 گروه ریاضی، واحد تهران مرکزی، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران

2 گروه ریاضی، واحد علوم و تحقیقات ، دانشگاه آزاد اسلامی، تهران، ایران

چکیده

پیشینه و اهداف: استدلال تناسبی، پیش در‌آمد تفکر تابعی و ابزاری قدرتمند در جهت توسعه تفکر جبری است که مستلزم درک دانش‌آموزان از رابطه تابعی میان فضاهای اندازه می‌باشد. توانایی بازشناسی و تشخیص شباهت ساختاری و مقایسه های ضربی در فرایند استدلال تناسبی ، پایه ی جبر و ریاضیات پیشرو می باشد مفهوم تناسب و استلزام‎های توسعه تفکر تناسبی، به لحاظ شناختی، پیچیده و تدریس آن نیازمند رویکردهای مفهوم مدار است. مطالعه کیفیت ادراک معلمان دورنمای شیوه‌ ایجاد و توسعه ساختارهای مفهومی نزد فراگیران است. این پژوهش به بررسی میزان تشخیص موقعیت‌های غیر‌تناسبی و نیز نوع استراتژی‌های انتخابی برای حل مسائل کلامی تناسبی در  فعالیت تدریس پرداخته است.بدلیل اهمیت زمینه مساله، مطالعه با تمرکز بر چهارگونه ‌معنایی از مسائل این حوزه صورت گرفت. ملاحظه ی  تفکر پداگوژی معلمان در حل مسائل تناسبی، بحث بر سر موانع بکارگیری استدلال تناسبی را در گونه های معنایی متفاوت فراهم می سازد.
روش‌ها: مطالعه به روش توصیفی از نوع زمینه‌یابی انجام گرفته است. نمونه آماری مورد بررسی، یک نمونه در دسترس، شامل 180 نفر از معلمان حین خدمت مقاطع ابتدایی، ریاضی متوسطه‌ اول، و دانشجو معلمان بود که به صورت داوطلبانه در پژوهش شرکت ‌کردند. ابزار پژوهش، آزمون محقق ساخته، شامل 17 مسأله متشکل از سه موقعیت‌ غیر‌تناسبی از نوع جمعی و 14 مساله تناسب مستقیم از نوع مقدار مجهول که طراحی و یا از منابع پژوهشی معتبر انتخاب شد. روایی محتوای آزمون مورد تأیید استادانی از حوزه «آموزش ریاضی» و «آزمون‌سازی و روانسنجی» قرار گرفت. داده‌های حاصل، با استفاده از آمار استنباطی و توصیفی تحلیل شد.
یافته‌ها: نتایج بررسی نخست، نشان داد در تشخیص مساله‌های کلامی غیرتناسبی، معلمان ابتدایی و دانشجو معلمان آموزش ‌ابتدایی، با مشکلاتی مواجه هستند.. به نظر می رسد در مورد این دو گروه، مشخصه‌های سطحی مسائل کلامی اعم از داشتن ساختار مشابه با مسائل تناسبی از نوع مقدار مجهول و نیز ماهیت مضربی ساختار عددی، در تشخیص موقعیت بعنوان یک ساختار تناسبی دخیل است. در بررسی شیوه حل مسائل تناسبی، در فعالیت تدریس، پاسخ‌ شرکت‌کنندگان مبتنی بر نه مورد از استراتژی‌های حل مسائل این حوزه، مورد تحلیل توصیفی قرار‌ گرفت. مبتنی بر تحلیل‌ها، معلمان مقطع متوسطه ‌اول و دانشجومعلمان هر دو مقطع، با تأثیر‌پذیری اندک از گونه‌ معنایی مسأله، دست‌کم در یکی از دو اولویت نخست خود، در تدریس مسائل مذکور، روش‌های الگوریتمی تناسبی و یا صورت‌بندی معادله جبری را به‌کار ‌گرفتند. معلمان‌ ابتدایی تمایل کمتری به استفاده از روش‌های الگوریتمی تناسبی داشتند. بکارگیری استدلال‌های تناسبی عددی و تابعی، از سوی معلمان ابتدایی،  بیش از سایر شرکت کنندگان بود؛ اما ترجیح به انتخاب استدلال‌های‌ تناسبی تابعی، در اقدام آن‌ها مشاهده نشد. از سوی دیگر، دو اولویت نخست معلمان ابتدایی در هیچ‌کدام از گونه‌های معنایی، انجام استدلال‌های تناسبی پیچیده‌تر «واحد‌پردازی» و «ضریب مقیاس» نبود.
نتیجه‌گیری: نتایج این بررسی، بر لزوم توسعه برنامه‌های حرفه ای دانش پداگوژی محتوای معلمان در این حوزه، به‌واسطه اشاعه ‌بکارگیری استراتژی‌های استدلال تناسبی تابعی توام با بازنمایی های مناسب اشاره دارد. نامانوس بودن رفتار دانشجو معلمان در این مطالعه، بر ایجاد حساسیت در طراحی برنامه‌های تعلیمی مرتبط، نسبت به پیامد تاخیر ظهور تفکر تناسبی دانش‌آموزان، تاکید می‌کند.

کلیدواژه‌ها

موضوعات

عنوان مقاله [English]

Investigating teachers and prospective teachers’ pedagogical content knowledge in the field of proportional reasoning with focus on their problem solving activities on semantic types

نویسندگان [English]

  • A. Poorang 1
  • N. Asghary 1
  • A. Shahvarani Semnani 2

1 Department of Mathematics, Central Branch, Islamic Azad University, Tehran, Iran

2 Department of Mathematics, Science and Research Branch, Islamic Azad University, Tehran, Iran

چکیده [English]

Background and Objectives: Proportional reasoning is regarded as the gate of functional thinking and it is a potent means for developing algebraic thinking which necessitates students’ understanding of the functional relationship between measure spaces. The ability to recognize and identify the structural similarity and multiple comparisons in the proportional reasoning process is the base of algebra and advanced mathematics. The concept of proportion and the necessities of developing proportional thinking are cognitively complex and its teaching demands concept-oriented approaches. Study of the quality of teachers' perceptions is the perspective of the method and development of conceptual structures among the students. The present study focused on determining the extent of recognizing non- proportional situations and also the kind of selected strategies to solve proportional verbal issues in the teaching activity. Considering the importance of the context of this problem, the study focused on four semantic types of the problems in this field. Considering the pedagogical thinking of teachers in solving proportional problems provides the discussion on the obstacles of using the proportional reasoning among different semantic types.
Materials and Methods: The study was done by descriptive survey method. The statistical population included 180 teachers of primary school and mathematics teachers of the first level of the secondary school, and prospective teachers who participated in the study voluntarily. The research instrument was a researecher-developed test containing 17 problems comprised of 3 non-proportional situations of additive problem types and 14 direct proportional problems, presented in  the missing- value  type  which were either researcher-devised or  selected from reliable  research sources.  The test’s content validity was confirmed by professors in the field of mathematics and texting and psychometrics.  The collected data were analyzed using inferential and descriptive statistics.
Findings: The results of the first study revealed that the primary school and the prospective teachers were faced with some difficulties in recognizing non-proportional statements. It seems that the superficial characteristics of verbal problem including having a structure similar to the proportional problems of the type of missing value and also the multiplicative nature of numerical structure are involved in determining the situation as a proportional structure.  In studying the the strategies of solving the proportional problems in the teaching activity, the responses of the participants were analyzed using the descrtiptive method based on 9 types of problem-solving strategies. The results of the analyses showed that all of  the first levele of the secondary school teachers and the prospective teachers of both of these levels, at least in one of their first two priorities in teaching these problems, applied algorithmic proportional strategies or algebraic equation formulation while being  slightly nfluenced by the kind of the semantic types. Teachers of the primary school had little desire to use the algorithmic proportional strategies. On the contrary, as compared to the other teachers, they had a higher preference for using functional and numerical proportional reasoning. However, they did not prefer to use proportional functional reasoning in their activities. On the other hand, the first two priorities of the primary school teachers in none of the semantic types were using more complex proportional reasonings of utilization and scale factor. 
Conclusion: The results emphasize the necessity of the development of pedagogical content knowledge in this field in order to develop the application of the strategies of functional proportional reasoning and appropriate representations by teachers which are aimed at providing more desirable conditions for students’ proportional reasoning development. Unexpected behaviors of prospective teachers in this study emphasize creating higher sensitivity to the consequences of delaying the emergence of students’ relative thinkingin the instructional plans of teacher training courses.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Strategy
  • Reasoning
  • Proportional
  • Semantic
  • Nonproportional

[1] Karplus R, Pulos S, Stage EK. Early adolescents’ proportional reasoning on rate problems. Educational Studies in Mathematics. 1983a; 14(2) 219–233.

[2] PittaPantazi D, Christou C. The structure of prospective kindergarten teachers’ proportional reasoning. 6th Congress of the European Society for Research in Mathematics Education. (CERME): 2009 28th-February: Lyon, France.

[3] National Council of Teachers of Mathematics. Research Brief: Teaching Ratio and Proportion in the Middle Grades.

[4] Lobato J. Middle School Teachers’ knowledge of Proportional Reasoning for Teaching. Research Association. The Symposium, Extending, Expanding, and Applying the Construct of Mathematical Knowledge for Teaching at the Annual Meeting of the American Educational Research Association: 2011 July12-13: New Orleans.

 [5] National Council of Teachers of Mathematics. Principles and standards for school mathematics.

 [6] Lamon SJ. Ratio and proportion: Connecting content and children’s thinking. Mathematics Education Research. 1993b; 24(1): 41-61.

[7] Asghari N. [Developing a model to enhance elementary teachers, ability to foster functional thinking and algebraic resoning in elementary students]. Journal of the theory and practice in curriculum. 2014; 2(3): 141-162.Persian.

 [8] Son J. How preservice teachers interpret and respond to student errors: ratio and proportion in similar rectangles. Educational Studies in Mathematics. 2013; 84: 49-70.

[9] Lobato J, Ellis A. B. Essential understandings: Ratios, proportions, and proportional reasoning. Reston: NCTM publishing; Third printing; 2011.

[10] Ruiz Ledesma E F. Activities to learn the Proportion Concept Using Technology. International Review of Social Sciences and Humanities. 2013; 5(1), 175-184.

[11] Shield M, Dole S. Investigating Textbook Presentation of Ratio and Proportion. 25 th Annual Conference of the Mathematics Education. Australasia: 2002 July 11-14: Auckland, Sydney.

[12] Hill H, C., Ball D L, Schilling S G. Unpacking pedagogical content knowledge: Conceptualizing and measuring teachers’ topic - specific knowledge of students. Research in Mathematics Education.  2008; 39(4):372-400.         

[13] Ruiz Ledesma EF. Primary and secondary teachers’ knowledge interpretation and approaches to students’ errors about ratio and proportion topics. Creative Education. 2011; 2(3): 264-269.

[14] Lim K H. Burning the candle at just one end: Using nonproportional examples helps students determine when proportional strategies apply. Mathematics Teaching in the MiddleSchool. 2009; 14(2): 492–500.

[15] Cramer K, Post T. Connecting research to teaching proportional reasoning.  Mathematics teacher. 1993; 86(5): 404–407.

[16] Lamon S J. The development of Unitizing: Its’ role in children ’s partitioning strategies. Research in Mathematics Education. 1996; 27(2):170-193.

[17] Thompson A G, Thompson P W. Talking about rates conceptually, Part II: Mathematical knowledge for teaching. Research in Mathematics Education.1996; 27(1): 2-24.

[18] Smith J. The development of students’ knowledge of fractions and ratios.  In: Litwiller G. Bright k. (eds.) Making sense of fractions, ratios, and proportions. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics; 2002. P. 1-3.

[19] Lesh R, Post T, Behr M. Proportional reasoning. In Hiebert J, Behr M. (eds.) Number concepts and operations in the middle grades. Reston; VA: Lawrence Erlbaum, NCT M; 1988. p. 93-118.

[20] Van Dooren w, De Bock D, Evers M, Verschaffer L. Pupils’ overuse of proportionality on missing value problems: How numbers may change solutions. 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education: 2006 July 16-21: Prague.

[21] Verganud G. Theory of Conceptual Fields. Human Development. 2009; 52(3):83-94.

[22] Brendenfur J L. Connecting elementary teachers’ mathematical knowledge to their instructional practices. The Researcher. 2008; 21(2):1–18.

[23] Lamon S J. Rational numbers and proportional reasoning. Research on Mathematics Teaching and Learning. 2007; 45(11): PP.629–667.

[24] Artut P D Pelen M S. 6th grade gtudents’ golution gtrategies on proportional reasoning problems. Procedia - Social and Behavioral Sciences. 2015; 197(11):  113 – 119.

[25] Ruiz Ledesma E F, Valdemoros Alvarez M E. Connection between qualitative and quantitative thinking about proportion: The case of Paulina. 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education: 2004 July 14-18: Bergen, Norway.

[26] Ben-Chaim D, Keret Y, Ilany, B. Ratio and proportion. Rotterdam: Sense Publishing; 2012.

[27] Clark M R, Berenson S B, Covey L.A Comparison of ratios and fractions and their roles as tools in proportional reasoning. Mathematical Behavior.  2003; 11(22): 297-317.

[28] Cramer K, Post T. Connecting research to teaching proportional reasoning. Mathematics Teacher. 1993a; 86(5): 404-407.


نامه به سردبیر

سر دبیر نشریه فناوری آموزش، با تواضع انتشار نامه های واصله از نویسندگان و خوانندگان و بحث در سامانه نشریه را ظرف 3 ماه از تاریخ انتشار آنلاین مقاله در سامانه و یا قبل از انتشار چاپی نشریه، به منظور اصلاح و نظردهی امکان پذیر نموده است.، البته این شامل نقد در مورد تحقیقات اصلی مقاله نمی باشد.

توچه به موارد ذیل پیش از ارسال نامه به سردبیر لازم است در نظر گرفته شود:


[1]نامه هایی که شامل گزارش از آمار، واقعیت ها، تحقیقات یا نظریه ها هستند، لازم است همراه با منابع معتبر و مناسب باشند، اگرچه ارسال بیش از زمان 3 نامه توصیه نمی گردد

[2] نامه هایی که بجای انتقاد سازنده به ایده های تحقیق، مشتمل بر حملات شخصی به نویسنده باشند، توجه و چاپ نمی شود

[3] نامه ها نباید بیش از 300 کلمه باشد

[4] نویسندگان نامه لازم است در ابتدای نامه تمایل یا عدم تمایل خود را نسبت به چاپ نظریه ارسالی نسبت به یک مقاله خاص اعلام نمایند

[5] به نامه های ناشناس ترتیب اثر داده نمی شود

[6] شهر، کشور و محل سکونت نویسندگان نامه باید در نامه مشخص باشد.

[7] به منظور شفافیت بیشتر و محدودیت حجم نامه، ویرایش بر روی آن انجام می پذیرد.

CAPTCHA Image