فصلنامه علمی

نوع مقاله: مقاله پژوهشی

نویسندگان

گروه آموزش ریاضی، دانشکده ریاضی و کامپیوتر، دانشگاه شهید باهنر، کرمان، ایران

چکیده

پیشینه و اهداف: ریاضی یکی از دروسی است که در برنامه درسی برای همه دانش­آموزان در نظر گرفته شده است. یکی از نگرانی­های متخصصین آموزشی و معلمان ریاضی این است که چرا دانش­آموزان در دوره اول متوسطه با روبه رو شدن با مباحث جبری در ریاضی دچار افت تحصیلی می­شوند. این در حالی است که در ایران همه دانش­آموزان باید جبر را یاد بگیرند، و معلمان باید به دانش­آموزان کمک کنند تا در ذهن خود یک فهم عمیق و ماندگار از جبر برای کار کردن همراه با مهارت بیشتر در پایه­های متوسطه و دبیرستان بسازند. از اینرو یک هدف مهم برای معلمان این است که با آگاهی در مورد اشتباهات به دانش­آموزان کمک کنند تا مفاهیم و رویه­ها را درست درک کنند. اما متاسفانه بعضی از معلمان فاقد دانش کافی در مورد تشخیص و رفع اشتباهات موجود و منشا آن­ها هستند. پس شاید پیدا کردن و دانستن اینکه اکثر دانش­آموزان چه بدفهمی­هایی دارند و شناخت اشتباهات و دلایل ایجاد آن­ها و آگاه کردن معلمان از این اشتباهات بتواند به دانش­آموزان کمک کند که در یادگیری جبر موفق باشند. از اینرو پژوهش حاضر با هدف بررسی اشتباهات دانش­آموزان در ساده کردن عبارت­های جبری، و یافتن منشا این اشتباهات از دیدگاه معلمان ریاضی انجام شده است.
روش‌ها‌: این پژوهش در زمره­ی پژوهش­های کاربردی می­باشد و با توجه به هدف آن از نوع پژوهش­های کیفی است. نمونه پژوهش شامل 14 نفر از معلمان ریاضی دوره اول متوسطه استان کرمان با سابقه تدریس بین12 تا 29 سال است که با بهره­گیری از روش نمونه­گیری هدفمند انتخاب شدند. زیرا باید افرادی انتخاب می­شدند که تجربه تدریس مبحث جبر در دوره اول متوسطه را داشتند. برای جمع­آوری داده­ها ابتدا با طرح یک آزمون از مبحث ساده کردن عبارت­های جبری برای دانش­آموزان پایه هشتم دوره اول متوسطه و استخراج موارد اشتباه، از طریق مصاحبه نیم­ساختاریافته با معلمان ریاضی خواهان آن شدیم که پس از تشخیص نوع اشتباه دلایل رخ داد این اشتباهات را بیان کنند. تحلیل داده­ها با استفاده از روش تحلیل محتوای کیفی انجام شده است.
یافته­ ها: در این پژوهش از دیدگاه معلمان، دانش­آموزان به هنگام ساده کردن عبارت­های جبری مرتکب 22 نوع اشتباه در ارتباط با توان، علامت مثبت و منفی، جمع، تفریق و ضرب اعداد صحیح؛ وصل کردن، اعمال مربوط به متغیر، باز کردن پرانتز، جملات متشابه و رعایت ترتیب عملیات می­شوند. همچنین یافته­ها نشان دادند که معلمان معتقدند عدم درک، درک اشتباه و یا درک ناقص مفاهیمی چون متغیر، توان، پرانتز و جملات متشابه؛ نادیده گرفتن علائم و نمادهای جبری؛ قوانین خودساخته دانش­آموز در برخورد با توان و پرانتز؛ دخالت  مفاهیم جبری یادگرفته شده قبلی در یادگیری‌های جدید و بالعکس؛ محاسبه نادرست جمع، تفریق و ضرب اعداد صحیح سبب ایجاد اشتباهات دانش­آموزان به هنگام ساده کردن عبارت‌های جبری می­شوند.
نتیجه ­گیری: امروزه دانش­­آموز در یک وادی برهوت نیست که به دنبال دانش بگردد، او در اقیانوسی از اطلاعات شناور است و معلم ریاضی هم دیگر برکه آبی در بیابان به شمار نمی­رود، او نیز مسافری در همان قایق دانش­آموزان است که باید به آنان کمک کند تا جبر را معنادار یاد بگیرند. از آنجا که در جبر مفاهیم به صورت سلسله مراتبی شکل گرفته است و یادگیری هر مفهوم به فهم و درک دانش­آموزان از مفاهیم پیش­نیاز بستگی دارد، لذا زمانیکه معلمان در کلاس جبر با آگاهی کامل نسبت به دلایل ایجاد اشتباهات دانش­آموزان حاضر ­شوند، تلاش می­کنند که مفاهیم پیش­نیاز، به درستی و بدون شکل­گیری بدفهمی­ها و رخ دادن خطاها توسط دانش­آموزان کسب شوند. این کار خود باعث می­شود دانش­آموزان در حل مسائل جبری کمتر اشتباه کنند، اعتماد به نفس آنها بالاتر ­رود و در نهایت عملکرد بهتری داشته باشند.

کلیدواژه‌ها

موضوعات

عنوان مقاله [English]

The Investigation of students' mistakes in simplifying algebraic expressions, and finding the source of these mistakes from the viewpoint of Mathematics teachers

نویسندگان [English]

  • N. Faramarzpoor
  • M.R. Fadaii

Department of Mathematics Education, Faculty of Mathematics and Computer, Shahid Bahonar University, Kerman, Iran

چکیده [English]

Background and Objectives: Mathematics is one of the courses that is contained in the curriculum for students in all fields. One of the concerns of educators and math teachers is that middle school mathematics students have many problems when faced with algebraic topics. In Iran, all students need to study algebra and teachers must help them build a deep and lasting understanding and skills for high school math. Hence, an important goal for teachers is to be aware of the mistakes in order to help students to understand concepts and procedures correctly. However, unfortunately, some teachers do not have enough knowledge to identify and correct the existing mistakes and their origin. So perhaps recognizing mistakes and their origins and informing teachers about these mistakes can help students succeed in learning algebra. Thus, the purpose of this research was to investigate the students' mistakes in simplifying the algebraic expressions and finding the origin of making such mistakes from the mathematics teachers’ viewpoint.
Methods: This research is one of an “applied research” type and due to its purpose is considered as “qualitative research”. The research sample includes 14 math teachers of the middle school of Kerman province with teaching experience between 12 to 29 years who were selected by the targeted sampling method. Because teachers who had experience teaching algebra in middle school had to be selected. To collect the data, we first designed a test about simplifying algebraic expressions for eighth-grade students and extracting erroneous cases, through a semi-structured interview with math teachers. The qualitative content analysis method was used for data analysis.
Findings: The findings of this research showed that from the viewpoint of mathematics teachers, 22 types of mistakes were made by students of middle school when simplifying algebraic expressions including exponentiation, positive and negative sign, addition, subtraction, multiplication of integers, conjoining, a variable related operating, use of brackets, similar terms, and the order of operations. The findings also showed that teachers believe that the causes of students' mistakes in simplifying algebraic expressions are as follows: The lack of understanding, misunderstanding or incomplete understanding of concepts such as variables, exponent, brackets, and similar terms; ignoring of algebraic symbols; students' self-made rules in dealing with exponent and brackets; interference of previously learned algebraic concepts with current learning and vice versa; and incorrect calculation of addition, subtraction, and multiplication of integers, causes making mistakes when simplifying algebraic expressions.
Conclusion: Today, students are no longer isolated in a desert where the math teachers are the oasis of knowledge, but rather floating in an ocean of information. However, teachers are still needed to help them understand algebra in a meaningful way. In algebra, the concepts are formed hierarchically and the learning of each concept depends on the students' understanding of the prerequisite concepts, so, if teachers attend the algebra class fully aware of the reasons for students' mistakes, they attempt to make the prerequisite concepts understandable to the students correctly, and without any misunderstandings and errors. This helps students to make fewer mistakes in solving algebraic problems, increase their self-confidence, and ultimately, perform better.

کلیدواژه‌ها [English]

  • Algebraic Mistakes
  • Simplifying Algebraic Expressions
  • middle school
  • Teachers

[1] Girit, D, Akyuz D. Algebraic thinking in Middle School Students at Different Grades: Conceptions about Generalization of Patterns. Education Journal of Science and Mathematics Education. 2016; 10 (2): 243-272.

[2] Bush SB. Analyzing common algebra-related misconceptions and errors of middle school students [doctoral dissertation]. University of Education and Human Development; 2011.

[3] Guler M, Celic D. A research on future mathematics teacher’s instructional explanations: the case of algebra. Journal of Educational Research and Reviews. 2016; 11(16): 1500-1508.

[4] Booth J, Barbieri C, Eyer F, Pare-Blagoev J. Persistent and Pernicious Errors in Algebraic Problem Solving. Journal of Problem Solving. 2014; 7 (1):10-23.

[5] Jordan N, Kaplan D, Locuniak M, Ramineni C. Predicting first-grade math achievement from developmental number sense trajectories. Learning Disabilities Research & Practice. 2007; 22(1): 36-46.

[6] Booth JL, Koedinger KR. Key misconceptions in algebraic problem solving, In B. C. Love, K. Mcreae & V. M. Sloutsky, (eds.) Proceedings of the 30th Annual Cognitive Science Society. Austin, TX: Cognitive Science Society; 2008. p. 571-576.

[7] Chow T-CF. Students Difficulties, Conceptions and Attitudes towards Learning Algebra: An Intervention Study to Improve Teaching and Learning [doctoral dissertation]. University of Curtin; 2011.

[8] Bennett VM. Understanding the meaning of the equal sign: an investigation of elementary students and teachers [doctoral dissertation]. University of Louisville; 2015.

[9] Mohr DJ. Pre-service Elementary Teachers Make Connections between Geometry and Algebra Through the use of technology. Journal Technology.  2008; 3.

[10] Boz N. Interactions between knowledge of variables and knowledge about teaching variables [doctoral dissertation]. University ofwarwick; 2004.

[11] Kuchemann D. Algebra, In K. M. Hart, (eds.) Childrens Understanding of Mathematics. Oxford, U. K: John Murray. London; 1981.

[12] Steinle V, Gvozdenko E, Price B, Stacey K,  Pierce R. Investigating Students Numerical Misconceptions in Algebra, In R. Hunter, B. Bicknell, & T. Burgess, (eds.) Crossing divides: Proceedings of the 32nd annual conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia (Vol. 2). Palmerston North, NZ: MERGA; 2009.

[13] Asquith P, Stephens A, Knuth E, Alibali M. Middle School Mathematics teachers’ Knowledge of Students understanding of core Algebraic Concepts: Equal Sing and Variable. Journal of Mathematical Thinking and Learning. 2007; 9(3): 249-272.

[14] Nyman R, Kilhamn C. Enhancing Engagement in Algebra: Didactical Strategies Implemented and Discussed by Teachers. Scandinavian Journal of Educational Research. 2015; 59(6): 623-637.

[15] Aminifar E, Zohrevand S, Zaeembashi A. [Students understanding and misconception of the concept of variable in preliminary algebra]. Quarterly journal of Educational innovations. 2015; 14(1): 77-95. Persian.

[16] Vlassis J. The role of mathematical symbols in the development of number conceptualization: the case of the minus sign. Philosophical Psychology. 2008; 21(4): 555-570.

[17] Macgregor M, Stacey K. Student understanding of algebraic notation: 11-15. International Journal Educational Studies in Mathematics. 1997; 33(1): 1-19.

[18] Reyhani E, Hamidi F, Rashedi F. [A study on negative numbers Conception of students and their misconceptions]. Journal of Technology of Education. 2016; 10(2): 115-131. Persian.

[19] Bush S, Karp K. Prerequisite algebra skills and associated misconceptions of middle grade students: A review. Journal of Mathematical Behavior. 2013; 32: 613-632.

[20] Kieran C. What do students struggle with when first introduced to algebra symbols? Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics; 2008.

[21] Dede Y. The concept of variable and identification its learning difficulties. Educational Sciences: Theory & Practice. 2004; 4(1): 50-56. 

[22] Capraro MM, Joffrion H. Algebraic equations: Can middle-school students meaningfully translate from words to mathematical symbols? Journal of Reading Psychology. 2006; 27(1): 147-164.

[23] Davis EA, Krajcik J. Designing educative curriculum materials to promote teacher learning. Journal of Educational Researcher. 2005; 34(3): 3-14.

[24] Owusu J. The Impact of Constructivist- Based Teaching Method on Secondary School Learners Errors in Algebra [Master dissertation]. University of South Africa, Pretoria; 2015.

[25] Hall RDG. An analysis of thought processes during simplification of an algebraic expression. Journal of mathematics education. 2002; 1-15.

[26] Seng LK. An error analysis of Form 2 (Grade 7) students in simplifying algebraic expressions: A descriptive study. Electronic Journal of Research in Education Psychology. 2010; 8(1): 139-162.

[27] Reyes J. Equal or not? An exploration of eighth-grade student’s experience of Algebra [doctoral dissertation]. University of Georgia Souther0n; 2012.

[28] Tirosh D, Even R, Robinson N. Simplifying algebraic expressions: Teacher awareness and teaching approaches. Journal of Educational Studies in Mathematics. 1998; 35(1): 54-61.

[29] Jupri A, Drijvers P, Van den Heuvel-Panhuizen M. Difficulties in initial algebra learning in Indonesia. Journal of Mathematics Education Research. 2014; 26(4): 683-710.

[30] Gunawardenna, E. Secondary school student’s misconceptions in algebra [dissertation]. University of Toronto, Canada; 2011.

[31] Stacey K, Macgregor M. Learning the algebraic method of solving problems. Journal of Mathematical Behavior. 2000; 18(2): 149-169.

[32] Fischbein E, Muzicant B.  Richard skemp and his conception of relational and instrumental understanding: Open sentences and phrases, In D. Tall & M. O. J. Thomas (eds.) Intelligence, Learning and Understanding Mathematics. Flaxton, Australia: Post Pressed; 2002. P.49-78.

[33] Goya Z, Hessam A. [Mental schemas: Justifier of students’ math misunderstandings]. Journal of Applied Psychology. 2007; 1(2): 177-200. Persian. 

[34] Fosnot C. Constructivism revisited, Implications and Reflections. The Constructivist Fall. 2005; 16(1): 1-17.  

[35] Piaget J. The science of education and the psychology of the child. New York: Grossman; 1970.

[36] Makonye J, Nhlanhla S. Exploring ‘Non-Science’ Grade 11 learners in solving quadratic equations. Mediterranean journal of social sciences. 2014; 5(27): 634-644.

[37] Oliver A. Handling pupils’ misconceptions. Presidential address delivered at the 13th National Convection on Mathematics, Physical Science and Biology. Pretoria, 3-7 July; 1989.

[38] Moodley V. An investigation of learners’ performance in algebra from Grade 9 to 11 [master’s thesis]. University of Witwatersrand, Johannesburg; 2014.

[39] Brodie K. Learning about learner errors in professional communities. Educational Studies in Mathematics. 2014; 85(1): 221-239.

[40] Merriam SB, Tisdell EJ. Qualitative research: A guide to design and implementation. US: Jossey-Bass Inc; John Wiley & Sons publishing; 2009.

[41] Reyhani E, Sharifi Z, Soltani M. [Misunderstandings about the Concept of Limit among High School Seniors]. Quarterly journal of Education. 2017; 32(4): 41-66. Persian.

[42] Delfkar N. The Effect of Teaching Students-Teachers on the Formation of Mental Misconceptions of Students in the Limit [Master dissertation]. University of Shahid Bahonar. Kerman; 2015. Persian. 

[43] Alamian V, Seyyedi M, Habibi M. [Identifying the misconceptions of eighth grade students on geometry skills and the use of Van Hiele theory to improve their geometry skills]. Quarterly journal of Educational innovations. 2018; 17(3): 123-147. Persian.

[44] Khademi F. Study of Misconceptions of High School Students in Mathematical Definitions and Concepts [Master dissertation]. University of Islamic Azad, Marvdasht Branch. Iran; 2015. Persian.


نامه به سردبیر

سر دبیر نشریه فناوری آموزش، با تواضع انتشار نامه های واصله از نویسندگان و خوانندگان و بحث در سامانه نشریه را ظرف 3 ماه از تاریخ انتشار آنلاین مقاله در سامانه و یا قبل از انتشار چاپی نشریه، به منظور اصلاح و نظردهی امکان پذیر نموده است.، البته این شامل نقد در مورد تحقیقات اصلی مقاله نمی باشد.

توچه به موارد ذیل پیش از ارسال نامه به سردبیر لازم است در نظر گرفته شود:


[1]نامه هایی که شامل گزارش از آمار، واقعیت ها، تحقیقات یا نظریه ها هستند، لازم است همراه با منابع معتبر و مناسب باشند، اگرچه ارسال بیش از زمان 3 نامه توصیه نمی گردد

[2] نامه هایی که بجای انتقاد سازنده به ایده های تحقیق، مشتمل بر حملات شخصی به نویسنده باشند، توجه و چاپ نمی شود

[3] نامه ها نباید بیش از 300 کلمه باشد

[4] نویسندگان نامه لازم است در ابتدای نامه تمایل یا عدم تمایل خود را نسبت به چاپ نظریه ارسالی نسبت به یک مقاله خاص اعلام نمایند

[5] به نامه های ناشناس ترتیب اثر داده نمی شود

[6] شهر، کشور و محل سکونت نویسندگان نامه باید در نامه مشخص باشد.

[7] به منظور شفافیت بیشتر و محدودیت حجم نامه، ویرایش بر روی آن انجام می پذیرد.

CAPTCHA Image